Calcolo Esempi

$y = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{5} - 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2}] - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 (2 x)) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{5} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{5}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + 0)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Somma $20 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3} - 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) + (- 20 (4 x^{3}) - 20 (- 3 x^{2})) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Espandi $(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2} - 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cdot 12 x^{5} x^{2} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 12 (x^{2} x^{5}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 12 x^{2 + 5} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.3

Somma $2$ e $5$ .

$\frac{4 \cdot 12 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{5} x - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x \cdot x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x^{1} x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{1 + 5} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5.3

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.6

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.7

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.8

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 (x^{4} x^{3})) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{4 + 3}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{7}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 (x^{4} x^{2}))}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{4 + 2})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{6})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $80 x^{7}$ da $48 x^{7}$ .

$\frac{- 32 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $- 24 x^{6}$ e $60 x^{6}$ .

$\frac{- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi $4 x$ da $- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $4 x$ da $- 32 x^{7}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $4 x$ da $36 x^{6}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $4 x$ da $- 48 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $4 x$ da $24 x$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5})$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Scomponi $4 x$ da $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Scomponi $4 x$ da $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{5} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) - 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) + 4 (- 1))}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{5}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5} - 1))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola del prodotto a $4 (x^{5} - 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4^{2} {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $4$ da $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $4$ da $16 {(x^{5} - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- 8 x^{6}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $9 x^{5}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5})$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- 12 x$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Scomponi $- 1$ da $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.14

Riscrivi $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ come $- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ .

$\frac{x (- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$