Calcolo Esempi

$\int (π - x) \cos (π x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = π - x$ e $d v = \cos (π x)$ .

$(π - x) (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} \cdot - 1 d x$

Passaggio 2.3

$\frac{\sin (π x)}{π}$ e $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x) \cdot - 1}{π} d x$

Passaggio 2.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- 1 \cdot \sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 2.5

Riscrivi $- 1 \sin (π x)$ come $- \sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- \sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int - \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + 1 \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{\sin (π x)}{π} d x$ per $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (π x) d x$

Passaggio 6

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 7

$\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u$

Passaggio 9.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u$

Passaggio 9.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u$

Passaggio 9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Passaggio 9.5

Somma $1$ e $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$ come $\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{π^{2}}$ e $\cos (u)$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (u)}{π^{2}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riordina i fattori in $\frac{\sin (π x) x}{π}$ .

$\sin (π x) - \frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Passaggio 13.2

Riordina i termini.

$\sin (π x) - \frac{1}{π} x \sin (π x) - \frac{1}{π^{2}} \cos (π x) + C$