Calcolo Esempi

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\arcsin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.4

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Applica l'identità pitagorica.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Passaggio 1.1.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1.1.5.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 4

Riscrivi $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$