Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ per $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 11.2

Calcola $e^{u}$ per $- 2$ e per $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 11.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 11.3.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 12.1.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sposta $e^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Passaggio 12.5.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 12.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.28594947 \dots$

Passaggio 14