Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{0} \sqrt{x - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = - 1 - 1$

Passaggio 1.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 0 - 1$

Passaggio 1.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 2}^{- 1} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{- 1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{- 2}^{- 1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $- 1$ e per $- 2$ .

$(\frac{2}{3} {(- 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Passaggio 4.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{{(- 1)}^{3}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \sqrt{- 1}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\frac{2 i}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 5.2

Riordina $\frac{2 i}{3}$ e $- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 i}{3}$

Passaggio 6