Calcolo Esempi

$y = x^{3} (5 x^{2} - 2 x + 7)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 x^{2} - 2 x + 7$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2 x + 7] + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 2 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (10 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (10 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x^{3} (10 x - 2 + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (10 x - 2 + 0) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.9

Somma $10 x - 2$ e $0$ .

$x^{3} (10 x - 2) + (5 x^{2} - 2 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (10 x - 2) + (5 x^{2} - 2 x + 7) (3 x^{2})$

Passaggio 2.11

Sposta $3$ alla sinistra di $5 x^{2} - 2 x + 7$ .

$x^{3} (10 x - 2) + 3 \cdot (5 x^{2} - 2 x + 7) x^{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (10 x) + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2} - 2 x + 7) x^{2}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (10 x) + x^{3} \cdot - 2 + (3 (5 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 7) x^{2}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (10 x) + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 10 + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 10 + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} \cdot 10 + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 10 + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.2

Sposta $10$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$10 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 2 + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$10 x^{4} - 2 \cdot x^{3} + 3 (5 x^{2}) x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{2} x^{2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{2 + 2} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} + 3 (- 2 x) x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 (x^{2} x) + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 x^{2 + 1} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 x^{3} + 3 \cdot 7 x^{2}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $3$ per $7$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 15 x^{4} - 6 x^{3} + 21 x^{2}$

Passaggio 3.4.9

Somma $10 x^{4}$ e $15 x^{4}$ .

$25 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 21 x^{2}$

Passaggio 3.4.10

Sottrai $6 x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$25 x^{4} - 8 x^{3} + 21 x^{2}$