Calcolo Esempi

$y = x^{x^{2}}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

Passaggio 2

Espandi $\ln (x^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 3.2.4.4

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $x$ per $x^{x^{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $x^{x^{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $x$ per $x^{x^{2}}$ .

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Passaggio 5.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$