Calcolo Esempi

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $y + 3$ per $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $y'$ e $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Riordina i termini.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(y + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Passaggio 5.2.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sposta $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi $- 1 y'$ come $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica $y' {(y + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi ${(y + 3)}^{2}$ come $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Passaggio 5.3.3.2

Espandi $(y + 3) (y + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Passaggio 5.3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Passaggio 5.3.3.3.2

Somma $3 y$ e $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Passaggio 5.3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta $9$ alla sinistra di $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Passaggio 5.3.4

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Passaggio 5.3.5

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $y' x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $2 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Passaggio 5.3.5.3

Sottrai $2 y'$ da $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Passaggio 5.3.6

Scomponi $y'$ da $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Passaggio 5.3.6.2

Scomponi $y'$ da $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Passaggio 5.3.6.3

Scomponi $y'$ da $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Passaggio 5.3.6.4

Scomponi $y'$ da $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Passaggio 5.3.6.5

Scomponi $y'$ da $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Passaggio 5.3.6.6

Scomponi $y'$ da $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Passaggio 5.3.6.7

Scomponi $y'$ da $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Passaggio 5.3.7

Dividi per $y^{2} + 6 y + x + 7$ ciascun termine in $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Dividi per $y^{2} + 6 y + x + 7$ ciascun termine in $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Passaggio 5.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Passaggio 5.3.7.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Passaggio 5.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$