Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (3 - x) - 5 (3 - x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 (3 - x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Passaggio 1.1.3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x \cdot x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x^{1}) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{1 + 1} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.9.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.9.2.1

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 - 5 \cdot - 1 x}$

Passaggio 1.1.3.9.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 + 5 x}$

Passaggio 1.1.3.9.2.3

Riordina $3 x$ e $- x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x - 15 + 5 x}$

Passaggio 1.1.3.9.2.4

Riordina $- 15$ e $5 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x + 5 x - 15}$

Passaggio 1.1.3.9.2.5

Sposta $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 3 x - 15}$

Passaggio 1.1.3.9.3

Somma $5 x$ e $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 8 x - 15}$

Passaggio 1.1.3.10

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.1.3.11

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = 3 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.11

Riscrivi $- 1 (x - 5)$ come $- (x - 5)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Passaggio 1.3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 1.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Passaggio 1.3.14

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + 0)}$

Passaggio 1.3.15

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.16

Moltiplica $3 - x$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + 3 - x}$

Passaggio 1.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x - - 5 + 3 - x}$

Passaggio 1.3.17.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.17.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 5 + 3 - x}$

Passaggio 1.3.17.2.2

Somma $5$ e $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 8 - x}$

Passaggio 1.3.17.2.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 2 x + 8}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 2 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{- 2 x + 8}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 8}$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 2 (4)}$

Passaggio 1.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x + 4)}$

Passaggio 1.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 (- x + 4)}$

Passaggio 1.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{- x + 4}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot 1 + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Passaggio 3.7

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 0}$

Passaggio 5.1.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2

Dividi $1$ per $- 1$ .

$- 1$