Calcolo Esempi

$y = 4 \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.10

$4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.12

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Passaggio 3.6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.12

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 3.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 3.14.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.14.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.14.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 3.15

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 3.16

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17

$6$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.18

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.19

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.20.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 3.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}$