Calcolo Esempi

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} e^{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$3 (x^{2} (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (x^{2} (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (x^{2 + 2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $2$ .

$3 (x^{4} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{x^{3}}$ .

$3 (x^{4} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{4} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} (2 x))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{4} (3 e^{x^{3}})) + 3 (e^{x^{3}} (2 x))$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 (x^{4} (e^{x^{3}})) + 3 (e^{x^{3}} (2 x))$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$9 x^{4} e^{x^{3}} + 6 e^{x^{3}} x$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$9 e^{x^{3}} x^{4} + 6 e^{x^{3}} x$

Passaggio 8.4

Riordina i fattori in $9 e^{x^{3}} x^{4} + 6 e^{x^{3}} x$ .

$9 x^{4} e^{x^{3}} + 6 x e^{x^{3}}$