Calcolo Esempi

$y = (x^{5} + 3) \cdot 4 x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{5} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot (x^{5} + 3) x^{3}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x^{5} + 3) x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5} + 3$ e $g (x) = x^{3}$ .

$4 ((x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 ((x^{5} + 3) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{5} + 3$ .

$4 (3 \cdot (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]))$

Passaggio 3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + 0))$

Passaggio 3.6

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4}))$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{4}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4} x^{3} \cdot 5)$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4 + 3} \cdot 5)$

Passaggio 4.3

Somma $4$ e $3$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{7} \cdot 5)$

Passaggio 5

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{7}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + 5 \cdot x^{7})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 ((3 x^{5} + 3 \cdot 3) x^{2} + 5 x^{7})$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x^{5} x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 5 x^{7})$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x^{5} x^{2}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 (3 (x^{2} x^{5})) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (3 x^{2 + 5}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $2$ e $5$ .

$4 (3 x^{7}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{7} + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$12 x^{7} + 4 (9 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 4 (5 x^{7})$

Passaggio 6.4.5

Moltiplica $5$ per $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 20 x^{7}$

Passaggio 6.4.6

Somma $12 x^{7}$ e $20 x^{7}$ .

$32 x^{7} + 36 x^{2}$