Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x}{x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - x}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0 + 1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.6.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x}{x^{3} - x^{2} + x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x^{2} + x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - 2 x + 1 + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $3 x^{2} - 2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 1}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 - 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3 - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{3 - 2 + 1}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$