Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

$\frac{x}{3}$ e ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.8

Moltiplica ${(2 x + 1)}^{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.3

$6$ e $\frac{x}{3}$ .

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.4

$\frac{6 x}{3}$ e ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $3$ da $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.2.4

Dividi $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.6

Scomponi ${(2 x + 1)}^{2}$ da $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi ${(2 x + 1)}^{2}$ da $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi ${(2 x + 1)}^{2}$ da $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.6.3

Scomponi ${(2 x + 1)}^{2}$ da ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.7

Riscrivi ${(2 x + 1)}^{2}$ come $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.8

Espandi $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.9.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.9.1.2.1

Sposta $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.9.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Passaggio 5.10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.10.2

Moltiplica $\frac{1}{3} (2 x)$ .

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Passaggio 5.10.2.1

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.10.2.2

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.10.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 5.11

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 5.12

$2 x$ e $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 5.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 5.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

Passaggio 5.15

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

Passaggio 5.16

Somma $6 x$ e $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.17

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.18

Semplifica.

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Passaggio 5.18.1

Moltiplica $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.18.1.1

$4$ e $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.18.1.2

$x^{2}$ e $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.18.2

Moltiplica $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.18.2.1

$4$ e $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.18.2.2

$x$ e $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.18.3

Moltiplica $\frac{8 x + 1}{3}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.20.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.20.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.20.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.20.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.5.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.5.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.9

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.20.10.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.20.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.20.10.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.21

Somma $4 x^{2}$ e $32 x^{2}$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Passaggio 5.22

Somma $4 x$ e $8 x$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$