Calcolo Esempi

$y = (2 x + 3) \sqrt{x^{2} + 3 x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 3 x}$ come ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 3) {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{{(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \cdot 1) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 14

Eleva $2 x + 3$ alla potenza di $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 15

Eleva $2 x + 3$ alla potenza di $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Somma $1$ e $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 17.2

${(2 x + 3)}^{2}$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 18

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 19

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 21

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 22

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Passaggio 23

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Passaggio 23.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 24

Per scrivere $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

$2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28

Moltiplica ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Sposta ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 ({(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 29

Semplifica $4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 (x^{2} + 3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1.1

Riscrivi ${(2 x + 3)}^{2}$ come $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.2

Espandi $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.3.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.2

Somma $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 30.2.3

Somma $12 x$ e $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 9}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$