Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.8.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.8.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Passaggio 1.3.8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Passaggio 1.3.8.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Passaggio 1.3.8.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Passaggio 1.3.8.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Passaggio 1.3.9

Somma $0$ e $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{2 \sin (2 x)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.7.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.7.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.7.1.4

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.5

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.6

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.3.9

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $\sec^{2} (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.4

Moltiplica $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.4.1

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.4.2

$x$ e $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.6

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.7

Combina.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.8

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.8.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.8.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.8.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.9

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.12

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.6.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Passaggio 3.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos^{3} (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{\cos (2 x)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.6

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.10

Sposta l'esponente $3$ da $\cos^{3} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.11

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 4.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 4.13

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2

Combina.

$\frac{1 \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.6

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1 \frac{2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{1^{3}}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 (\frac{2}{1})}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (0)}$

Passaggio 6.6.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.7

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{2}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{2}{4}$

Passaggio 6.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 6.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$