Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \tan^{2} (t)$ come ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3 \tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3 \tan (t)$ da ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3 \tan (t)$ da $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ e $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Passaggio 5

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Passaggio 6

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{9}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$