Calcolo Esempi

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $i$ da $i - i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $i$ da $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $i$ da $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $i$ da $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $i$ uguale a $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Passaggio 3.2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Passaggio 3.3

Calcola $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Metti in evidenza $\frac{1}{3}$ nella sommatoria.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Passaggio 3.3.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Passaggio 3.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Somma $10$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $10$ per $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Dividi $110$ per $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Passaggio 3.3.4.2

$\frac{1}{3}$ e $55$ .

$\frac{55}{3}$

Passaggio 3.4

Calcola $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Metti in evidenza $- \frac{1}{3}$ nella sommatoria.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Passaggio 3.4.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Passaggio 3.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Somma $10$ e $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.2.1

Moltiplica $10$ per $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Passaggio 3.4.4.1.2.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Somma $20$ e $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Passaggio 3.4.4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Moltiplica $110$ per $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2

Scomponi $3$ da $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Passaggio 3.4.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Passaggio 3.4.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Passaggio 3.4.4.2.3

Elimina il fattore comune di $770$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Passaggio 3.4.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Passaggio 3.4.4.2.4

Riscrivi $- 1 (\frac{385}{3})$ come $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Passaggio 3.5

Somma i risultati delle sommatorie.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{55 - 385}{3}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $385$ da $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi $- 330$ per $3$ .

$- 110$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Passaggio 4.2

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Passaggio 4.3.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Passaggio 4.3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Passaggio 4.3.5

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Passaggio 4.3.7

Sottrai $9$ da $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per scrivere $- 110$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Passaggio 6.2

$- 110$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Passaggio 6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $- 110$ per $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Passaggio 6.4.2

Somma $- 330$ e $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Passaggio 6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{322}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{322}{3}$

Forma decimale:

$- 107.\overline{3}$

Forma numero misto:

$- 107 \frac{1}{3}$