Calcolo Esempi

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Passaggio 3.1.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Passaggio 3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Passaggio 3.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ per $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = x^{6}$ e $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{6}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.9

Sposta $6$ alla sinistra di ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = 2 + 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.11.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.12.6.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.13.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.14.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.17

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.18

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.1.1

Scomponi $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ da $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.1.1.1

Scomponi $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ da $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.1.1.2

Scomponi $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ da $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.1.1.3

Scomponi $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ da $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.1.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.1.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.1.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.2

Elimina il fattore comune di ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ e ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.2.1

Scomponi ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ da $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Passaggio 3.19.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.2.2.1

Scomponi ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ da ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.19.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.19.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Passaggio 3.19.3

Riordina i termini.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ per $1$ .

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Passaggio 5.4

Dividi per $12 x^{5}$ ciascun termine in $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $12 x^{5}$ ciascun termine in $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$