Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{9}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{3}$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Passaggio 3