Calcolo Esempi

$y = x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14.2

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14.3

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 17

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{3}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 18

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 19

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 21

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Passaggio 22

Riordina.

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Passaggio 22.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Passaggio 22.2

Sposta ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 23

Per scrivere $2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

Moltiplica ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 25.1

Sposta ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 1)}^{1}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26

Semplifica $2 x {(- x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27

Semplifica.

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Passaggio 27.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 27.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 27.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.3

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.3.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 2}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.3.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 2)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 2))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 2))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 2)$ come $- 1 (3 x^{2} - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 2))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (3 x^{2} - 2)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$