Calcolo Esempi

$\sqrt{1 - y^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - y^{2}}$ come ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = 1 - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Passaggio 1.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Passaggio 1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y))$

Passaggio 1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 y)$

Passaggio 1.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

Passaggio 1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{- 2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (y) = - \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = 1 - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.11.4

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.14

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.16

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.16.2

Moltiplica $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

$2$ e $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.18.2

$\frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.19

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.20

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y^{1})}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{1 + 1}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.22

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.23

Elimina il fattore comune.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.24

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.25

Per scrivere ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.27

Moltiplica ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.27.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.27.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.27.3

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.27.4

Dividi $2$ per $2$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{1} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.28

Semplifica ${(1 - y^{2})}^{1}$ .

$- \frac{\frac{1 - y^{2} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.29

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$- \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.30

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.31

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}}$ come un prodotto.

$- (\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - y^{2}}) + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.32

Moltiplica $\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{1 - y^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2})} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.33

Moltiplica ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 - y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.33.1

Moltiplica ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 - y^{2}$ .

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Passaggio 2.33.1.1

Eleva $1 - y^{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.33.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.33.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.33.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.33.4

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.34

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.35

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.35.1

Moltiplica $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 2.35.2

Somma $- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (y) = - \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$