Calcolo Esempi

$\frac{2 - x}{3 x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 - x$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - x] - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [- x] - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x]) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (- 1 \cdot 1) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(3 x + 1) \cdot - 1 - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $3 x + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 x + 1) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $- 1 (3 x + 1)$ come $- (3 x + 1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{- (3 x + 1) - (2 - x) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- (3 x + 1) - 3 (2 - x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (3 x) - 1 \cdot 1 - 3 (2 - x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (3 x) - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 - 3 (- x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 x - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 - 3 (- x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 3 x - 1 - 3 \cdot 2 - 3 (- x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 3 x - 1 - 6 - 3 (- x)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{- 3 x - 1 - 6 + 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $- 3 x - 1 - 6 + 3 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{0 - 1 - 6}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1 - 6}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$\frac{- 7}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{{(3 x + 1)}^{2}}$