Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $x$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Passaggio 10.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Passaggio 10.3

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Passaggio 11.3

Somma $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Passaggio 11.4

$\sin (π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Passaggio 12.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 12.2

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 12.4

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 12.5

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 12.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimale:

$0.78539816 \dots$