Calcolo Esempi

$\frac{- t e^{- t} + e^{- t}}{e^{t}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = - t e^{- t} + e^{- t}$ e $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{t})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- t e^{- t} + e^{- t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t e^{- t}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \cdot - 1) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - 1 \cdot e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t})) - e^{- t} - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- t e^{- t}) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.2

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.2.1

Sposta $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.2.3

Somma $- t$ e $t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.3

Semplifica $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.5

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t - e^{t} e^{- t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.7

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.7.1

Sposta $e^{- t}$ .

$\frac{t - (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t - e^{- t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.7.3

Somma $- t$ e $t$ .

$\frac{t - e^{0} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.8

Semplifica $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t - 1 - e^{t} e^{- t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.10

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.10.1

Sposta $e^{- t}$ .

$\frac{t - 1 - (e^{- t} e^{t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.10.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t - 1 - e^{- t + t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.10.3

Somma $- t$ e $t$ .

$\frac{t - 1 - e^{0} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.11

Semplifica $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.12

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.12.1

Sposta $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t (e^{t} e^{- t})) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{t - t}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.12.3

Sottrai $t$ da $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{0}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.13

Semplifica $- (- t e^{0})$ .

$\frac{t - 1 - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.14

Moltiplica $- - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.14.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.15

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.15.1

Sposta $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.15.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.15.3

Sottrai $t$ da $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.1.16

Semplifica $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.2

Somma $t$ e $t$ .

$\frac{2 t - 1 - 1 - 1}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Passaggio 9.5.4

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$