Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Passaggio 1

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (θ)$ come $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $\tan (θ)$ è $\sec^{2} (θ)$ , l'integrale di $\sec^{2} (θ)$ è $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ e $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $- θ + \tan (θ)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Passaggio 5.3.3

Somma $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ e $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{2})$ è $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Passaggio 6.1

Dividi $\frac{π}{2}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 6.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 6.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 6.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Passaggio 6.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.7

Semplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Passaggio 6.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.7.1.1

Moltiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Passaggio 6.7.1.1.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.1.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.1.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 6.7.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.7.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Passaggio 6.7.1.2.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Passaggio 6.7.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.7.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Passaggio 6.7.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Passaggio 6.7.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Passaggio 6.7.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Passaggio 6.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Passaggio 7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito