Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = \frac{x}{5} + 1$ . Allora $d u = \frac{1}{5} d x$ , quindi $5 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \frac{x}{5} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{x}{5} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{5} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{5} + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $\frac{1}{5}$ e $0$ .

$\frac{1}{5}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} (1 \cdot 5) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} \cdot 5 d u$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{u^{6}}$ e $5$ .

$\int \frac{5}{u^{6}} d u$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \frac{1}{u^{6}} d u$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $u^{6}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$5 \int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int u^{6 \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$5 \int u^{- 6} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$u^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{u^{- 5}}{5} + C)$

Passaggio 8.1.2

Sposta $u^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 u^{5}} + C)$

Passaggio 8.2

Semplifica.

$5 (- \frac{1}{5 u^{5}}) + C$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 8.3.2

$- 5$ e $\frac{1}{5 u^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 u^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (u^{5})} + C$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{u^{5}} + C$

Passaggio 8.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{u^{5}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{5} + 1$ .

$- \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{5}} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \frac{1}{{(\frac{1}{5} x + 1)}^{5}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{5} + 1)}^{6}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{{(\frac{1}{5} x + 1)}^{5}} + C$