Calcolo Esempi

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 + 3 y'$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$3 y' + 2$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.3

Sottrai $3 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1.1

Applica l'identità ad angolo triplo del seno.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4.1.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4.1.1.4

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4.1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.4.1.2

Riordina i fattori in $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.1

Semplifica $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Passaggio 5.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.5.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 5.5.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 5.5.1.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.5.1.2.2

Somma $0$ e $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6

Risolvi l'equazione per $y'$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $3 y'$ da $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ .

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Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $3 y'$ da $12 y' \sin^{3} (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $3 y'$ da $- 9 y' \sin (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $3 y'$ da $- 3 y'$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.1.4

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.1.5

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5.6.2

Dividi per $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ ciascun termine in $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.2.1

Dividi per $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ ciascun termine in $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

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Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Passaggio 5.6.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$