Calcolo Esempi

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{1}{3} \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ è positivo.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{\sec (t)}{3})}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sec (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{3^{2}} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{\sec (t)}{3})}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sec (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{3^{5}} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{243} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2.2

$\frac{\sec^{5} (t)}{243}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ per $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2.5

Moltiplica $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ per $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 (\sec (t) \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t) \cdot 3} d t$

Passaggio 2.2.2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 \sec (t) \tan (t)}{3 \cdot (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.2.2.7

Elimina il fattore comune di $243$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.7.1

Scomponi $3$ da $243 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 \sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \sec (t) \tan (t)}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2.8

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ e $\sec^{5} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.8.1

Scomponi $\sec (t)$ da $81 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.8.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{5} (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.2.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.2.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2.9

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81}{\sec^{4} (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $81$ è costante rispetto a $t$ , sposta $81$ fuori dall'integrale.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{4} (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{4}} d t$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (t)}} d t$

Passaggio 4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^{4} (t)}} d t$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\cos^{4} (t)$ per $1$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Passaggio 6.3

Riscrivi ${\cos (t)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Passaggio 7

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = 2 t$ . Allora $d u_{1} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 8.5

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$81 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$81 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $81$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 10.2

Riscrivi $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ come un prodotto.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 10.3

Espandi ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Passaggio 10.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Passaggio 10.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.6

Applica la proprietà distributiva.

Passaggio 10.3.7

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.8

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.9

Sposta $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.10

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.11

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.12

Sposta $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.13

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.3.14

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.16

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.17

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.18

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.19

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.20

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.21

$\frac{1}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.22

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.23

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.24

Moltiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.25

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.26

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.27

Moltiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.28

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.3.29

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.30

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.31

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.32

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.33

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.34

Somma $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ e $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.35

$2$ e $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.36

Riordina $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.3.37

Riordina $\frac{1}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Passaggio 10.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 10.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 10.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{81}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 13

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 17

Applica la regola costante.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 18

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 18.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 18.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 18.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 18.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 18.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 18.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = π$

Passaggio 18.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 18.5

Moltiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 (2 π)}{3}$

Passaggio 18.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 18.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 18.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 19

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 20

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 21

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 22

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 23

Applica la regola costante.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 24

$\frac{1}{4}$ e $u_{1}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 25

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 26

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2})$

Passaggio 27.2

Per scrivere $\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.3

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.5

$2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.6.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 27.6.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 27.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 28

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Calcola $u_{1}$ per $\frac{2 π}{3}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 28.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $\frac{4 π}{3}$ e per $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 28.3

Calcola $\sin (u_{1})$ per $\frac{2 π}{3}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Passaggio 28.4

Calcola $\frac{u_{1}}{4}$ per $\frac{2 π}{3}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.5.1

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.2

Per scrivere $- \frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.5.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.3.3

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2 - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - 3 π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.7

Sottrai $3 π$ da $4 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.8

Riscrivi $\frac{\frac{2 π}{3}}{4}$ come un prodotto.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.9

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.11

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.5.11.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 (π)}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.5.11.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

Passaggio 28.5.12

Riscrivi $\frac{\frac{π}{2}}{4}$ come un prodotto.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}))$

Passaggio 28.5.13

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{2 \cdot 4})$

Passaggio 28.5.14

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{8})$

Passaggio 28.5.15

Per scrivere $\frac{π}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8})$

Passaggio 28.5.16

Per scrivere $- \frac{π}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 28.5.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $24$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.5.17.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 28.5.17.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 28.5.17.3

Moltiplica $\frac{π}{8}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{8 \cdot 3})$

Passaggio 28.5.17.4

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{24})$

Passaggio 28.5.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{24})$

Passaggio 28.5.19

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{24})$

Passaggio 28.5.20

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 π - 3 π}{24})$

Passaggio 28.5.21

Sottrai $3 π$ da $4 π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 29.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) + 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.4

Somma $\sin (\frac{4 π}{3})$ e $0$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.5.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.5.3

Moltiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.5.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.7

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.7.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{π}{6}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.7.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.8

Moltiplica $\frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.3

Per scrivere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2 \cdot 8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.4.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.6

Per scrivere $\frac{π}{24}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.7

Per scrivere $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $48$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.1.8.1

Moltiplica $\frac{π}{24}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{24 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.8.2

Moltiplica $24$ per $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.8.3

Moltiplica $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{16 \cdot 3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.8.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.10

Riordina i fattori di $\sqrt{3} \cdot 8$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.11

Somma $- \sqrt{3}$ e $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.1.12.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot π + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.12.2

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{48}{48}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1 \cdot \frac{48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.14

$- 1$ e $\frac{48}{48}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} + \frac{- 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.1.16

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.3

Moltiplica $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.9.3.1

Moltiplica $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48 \cdot 2} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.9.3.2

Moltiplica $48$ per $2$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24})$

Passaggio 30.10

Per scrivere $\frac{π}{24}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24} \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 30.11

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $96$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.11.1

Moltiplica $\frac{π}{24}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{24 \cdot 4})$

Passaggio 30.11.2

Moltiplica $24$ per $4$ .

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{96})$

Passaggio 30.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + π \cdot 4}{96}$

Passaggio 30.13

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 \cdot π}{96}$

Passaggio 30.14

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.14.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{3 (27)}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{96}$

Passaggio 30.14.2

Scomponi $3$ da $96$ .

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

Passaggio 30.14.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

Passaggio 30.14.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$

Passaggio 30.15

Moltiplica $\frac{27}{2}$ per $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$ .

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{2 \cdot 32}$

Passaggio 30.16

Moltiplica $2$ per $32$ .

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{64}$

Passaggio 30.17

Somma $2 π$ e $4 π$ .

$\frac{27 (6 π + 21 \sqrt{3} - 48)}{64}$

Passaggio 30.18

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27 (6 π) + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

Passaggio 30.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.19.1

Moltiplica $6$ per $27$ .

$\frac{162 π + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

Passaggio 30.19.2

Moltiplica $21$ per $27$ .

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} + 27 \cdot - 48}{64}$

Passaggio 30.19.3

Moltiplica $27$ per $- 48$ .

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

Passaggio 31

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

Forma decimale:

$3.04704402 \dots$

Passaggio 32