Calcolo Esempi

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{n}}$ per $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{n}}$ per $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $\sqrt{n}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.3

Eleva $\sqrt{n}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{n}}^{2}$ come $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{n}$ come $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.2.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ per $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

Passaggio 1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ per $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $\sqrt{n + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1.4.3

Eleva $\sqrt{n + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

Passaggio 1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ come $n + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{n + 1}$ come ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

Passaggio 1.4.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{\sqrt{n}}{n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $n (n + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{n}}{n}$ per $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(n + 1) n$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{n}$ come $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{n + 1}$ come ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $n^{\frac{1}{2}}$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $n^{\frac{1}{2}}$ per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $n^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.6

Riordina i termini.

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7

Riscrivi $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Scomponi $n^{\frac{1}{2}}$ da $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Scomponi $n^{\frac{1}{2}}$ da $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.1.2

Scomponi $n^{\frac{1}{2}}$ da $n^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.1.4

Scomponi $n^{\frac{1}{2}}$ da $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.1.5

Scomponi $n^{\frac{1}{2}}$ da $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.2

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

Passaggio 6.7.3

Semplifica.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

Passaggio 7

Sposta $n^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 8

Moltiplica $n$ per $n^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta $n^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $n^{- \frac{1}{2}}$ per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

Passaggio 8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

Passaggio 8.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 8.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 9

Scomponi $- 1$ da $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 10

Scomponi $- 1$ da $n$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 11

Scomponi $- 1$ da $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 12

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 13

Scomponi $- 1$ da $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 14

Riscrivi $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ come $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ .

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Passaggio 16

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$