Calcolo Esempi

$f (x) = 25 \ln (x^{2}) - x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$25 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$25 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$25 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.7

$25$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{25 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{50}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{50}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{50}{x} - (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{50}{x} - 2 x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 2 x + \frac{50}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + \frac{50}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{50}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{50}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{50}{x}$ rispetto a $x$ è $50 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$f'' (x) = - 2 - 50 x^{- 2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 - 50 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 50$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{- 50}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 2 - \frac{50}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{50}{x^{2}} - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + \frac{50}{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.4

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$25 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$25 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$25 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.7

$25$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{25 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{50}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{50}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{50}{x} - (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{50}{x} - 2 x$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 x + \frac{50}{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + \frac{50}{x}$ .

$- 2 x + \frac{50}{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + \frac{50}{x} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ per $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{50}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{50}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{50}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{2} + \frac{50}{x} x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{2} + 50 = 0 x$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- 2 x^{2} + 50 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $50$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 50$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 50$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 50$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 50}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 50}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 50}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $- 50$ per $- 2$ .

$x^{2} = 25$

Passaggio 5.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 5$

Passaggio 5.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5$

Passaggio 5.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5$

Passaggio 5.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5, - 5$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{50}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 5, - 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{50}{{(5)}^{2}} - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{50}{25} - 2$

Passaggio 9.1.2

Dividi $50$ per $25$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - 2$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 10

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = 25 \ln ({(5)}^{2}) - {(5)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 25 \ln (25) - {(5)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica $25 \ln (25)$ spostando $25$ all'interno del logaritmo.

$f (5) = \ln (25^{25}) - {(5)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = \ln (25^{25}) - 1 \cdot 25$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f (5) = \ln (25^{25}) - 25$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $\ln (25^{25}) - 25$ .

$y = \ln (25^{25}) - 25$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{50}{{(- 5)}^{2}} - 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{50}{25} - 2$

Passaggio 13.1.2

Dividi $50$ per $25$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - 2$

Passaggio 13.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 14

$x = - 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 5$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = 25 \ln ({(- 5)}^{2}) - {(- 5)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = 25 \ln (25) - {(- 5)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Semplifica $25 \ln (25)$ spostando $25$ all'interno del logaritmo.

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - {(- 5)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - 1 \cdot 25$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - 25$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\ln (25^{25}) - 25$ .

$y = \ln (25^{25}) - 25$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ .

$(5, \ln (25^{25}) - 25)$ è un massimo locale

$(- 5, \ln (25^{25}) - 25)$ è un massimo locale

Passaggio 17