Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} 9 e^{- 9 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 9 e^{- 9 x} d x$

Passaggio 2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{t} e^{- 9 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - 9 x$ . Allora $d u = - 9 d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 9 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 9 x$ .

$u_{lower} = - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 9 x$ .

$u_{upper} = - 9 t$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 9 t$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} \frac{1}{- 9} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} (- \frac{1}{9}) d u$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} - \frac{e^{u}}{9} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 9 (- \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$lim_{t \to \infty} - 9 \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - 9 (\frac{1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{9}$ e $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 9}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 9 t})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $e^{u}$ per $- 9 t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 9 t}) - e^{0})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1)$

Passaggio 11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - 1$

Passaggio 11.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 11.2

Poiché l'esponente $- 9 t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- 9 t}$ tende a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 11.3

Calcola il limite.

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Passaggio 11.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 11.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (0 - 1)$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- - 1$

Passaggio 11.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$