Calcolo Esempi

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi $\tan^{6} (t)$ come ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $\tan (t)$ da $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $\tan (t)$ da $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\sec (x)$ come $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4.2

Applica l'identità reciproca.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.2

Combina.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\csc (t)$ per $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.5

$\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.6

Riduci l'espressione $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.6.2

Scomponi $\cot (t)$ da ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $- \csc (t)$ è $\csc (t) \cot (t)$ , l'integrale di $\csc (t) \cot (t)$ è $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

Passaggio 6

Calcola $- \csc (t)$ per $1.44546849$ e per $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

Passaggio 7

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{3})$ è $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.2.6.5

Calcola l'esponente.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$0.14679527 \dots$

Passaggio 10