Calcolo Esempi

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x) + \tan (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.4

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Passaggio 3.5.3.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ e $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.3.2

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.4

$\sec^{2} (x)$ e $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.6

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.5.6.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.6.2

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.5.6.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$