Calcolo Esempi

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.9

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.10

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.11

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.12

$4$ e $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.13

Scomponi $2$ da $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Scomponi $2$ da $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Passaggio 6

Risolvi per $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Passaggio 6.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica per $y^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ per $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova un fattore comune $y^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $u$ a $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Sottrai $2 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Passaggio 6.3.3.3

Scomponi $u$ da $- y' u - 2 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Scomponi $u$ da $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Passaggio 6.3.3.3.2

Scomponi $u$ da $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Passaggio 6.3.3.3.3

Scomponi $u$ da $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Passaggio 6.3.3.4

Dividi per $- y' - 2$ ciascun termine in $u (- y' - 2) = - 2 y'$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Dividi per $- y' - 2$ ciascun termine in $u (- y' - 2) = - 2 y'$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- y' - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Passaggio 6.3.3.4.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Passaggio 6.3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Passaggio 6.3.3.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Passaggio 6.3.3.4.3.3

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.3.5.1

Riscrivi $- (y' + 2)$ come $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{2 y'}{y' + 2}$ per $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Passaggio 6.3.4

Sostituisci $y'$ a $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$