Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\cos (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10

$\cos (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 12

Moltiplica $\frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 13

Combina.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 14

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (x) + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 18

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 18.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 18.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 19

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 19.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 19.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (x) - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 20

Semplifica.

$\frac{\cos (x) - 2 x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 21

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - 2 x (- \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 22

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 22.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\cos (x) + 2 x \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 22.2

Riordina i termini.

$\frac{2 x \sin (x) + \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}} \cos^{2} (x)}$