Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 2 x}{1 - x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + 1 (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x$ per $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $x^{2} - 2 x$ per $1$ .

$\frac{(1 - x) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Espandi $(1 - x) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (2 x - 2) - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.2.1.1

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (2 x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} - x \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 - 2 x^{2} + x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 x$ da $4 x$ .

$\frac{- 2 - 2 x^{2} + x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 2 - x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 2 x - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $- (x^{2} - 2 x + 2)$ come $- 1 (x^{2} - 2 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} - 2 x + 2}{{(- x + 1)}^{2}}$