Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ come ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.10

Moltiplica.

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Passaggio 9.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.10.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.12.1

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.12.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.12.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.12.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 9.12.5

Moltiplica $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.12.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.12.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.12.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.12.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ per $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.2

Sposta ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica ${(1 - x)}^{2}$ per ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.3.3.1

Sposta ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$