Calcolo Esempi

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (x))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2.7

$\ln (\sin (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica.

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Passaggio 3.2.8.1

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.8.2.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.2.2

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.2.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \ln (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.8.3.1

Frazioni separate.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.3.2

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{1} \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.2.8.3.3

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (\ln (x) \cot (x) + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$y' = (\ln (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.2

$\ln (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x}) {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x)}$ e ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x))}{x} {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.4

$\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ e ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ e $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x)} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sin (x) (\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.4

Dividi $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ per $1$ .

$y' = \ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.8

Riordina i fattori in $\frac{\ln (x) \cos (x) {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (x))}{x}$