Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x + 5}{3 x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 5}{3 x - 2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 5$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{6 x - 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Combina i termini opposti in $6 x - 4 - 6 x - 15$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{0 - 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{- 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Sottrai $15$ da $- 4$ .

$\frac{- 19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$