Calcolo Esempi

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (9 x)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4

Converti da $\frac{1}{\sin (9 x)}$ a $\csc (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.5.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia.

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Passaggio 3.2.6.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\csc (9 x) \cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2.8

$\ln (\sin (9 x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9

Semplifica.

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Passaggio 3.2.9.1

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.9.2.1

Riscrivi $\csc (9 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.2.2

Moltiplica $9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ .

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Passaggio 3.2.9.2.2.1

$\frac{1}{\sin (9 x)}$ e $9$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.2.2.2

$\frac{9}{\sin (9 x)}$ e $\cos (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.2.3

$\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.9.3.1

Frazioni separate.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.3.2

Converti da $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ a $\cot (9 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 3.2.9.3.3

Dividi $9 \ln (x)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $9 \ln (x)$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\cot (9 x)$ in termini di seno e coseno.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.3

$\ln (x^{9})$ e $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3

$\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ e ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.4

$\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ e ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ e $\sin (9 x)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $\sin (9 x)$ da $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.5.2.4

Dividi $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ per $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.8

Riordina i fattori in $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$