Calcolo Esempi

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ come $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

Passaggio 4.1.2

Espandi $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.5.1

$\frac{1}{\ln (x)}$ e $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ per $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

Passaggio 4.8

$\ln (\ln (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

Passaggio 4.9

Semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Passaggio 4.9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.9.2.1

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Passaggio 4.9.2.2

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ e $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$