Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{\sin (x)})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\sin (x) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 x^{2}) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 \sin (x) x^{2} - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.2

Riordina i fattori in $3 \sin (x) x^{2} - x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} \sin (x) - x^{3} \cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (x)) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (x)) + x^{2} (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 \sin (x)) + x^{2} (- x \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (3 \sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$