Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Fattorizza $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4

Imposta $- \sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $- \sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.2

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.6

Frazioni separate.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.4.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.4.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 2.4.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 2.4.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 2.4.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.4.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.4.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.4.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.4.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 2.4.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 2.4.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 2.4.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.4.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.4.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ e risolvendo.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = e^{x} \cos (x)$ con $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.2.2

$e^{\frac{π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = e^{x} \cos (x)$ con $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.2.3

$e^{\frac{5 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = e^{x} \cos (x)$ con $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2.3

$e^{\frac{9 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

Risolvi la funzione originale $f (x) = e^{x} \cos (x)$ con $x = 10.21017612$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10.21017612$ nell'espressione.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Passaggio 7

Risolvi la funzione originale $f (x) = e^{x} \cos (x)$ con $x = 13.35176877$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $13.35176877$ nell'espressione.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Passaggio 8

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sono $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Passaggio 9