Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x + 1$ e $d v = \sqrt{x + 3}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Passaggio 4.3

Somma $- 2$ e $3$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $1$ e per $- 2$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $2$ per $8$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8

$2$ e $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.9

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.10

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.14

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.15

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.17

Somma $32$ e $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.18

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.19

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.20.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.20.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.21

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.22

$\frac{2}{5}$ e $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.23

Moltiplica $2$ per $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.24

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.25

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Passaggio 6.3.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Passaggio 6.3.27

Sottrai $2$ da $64$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Passaggio 6.3.28

Moltiplica $\frac{62}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.29

Moltiplica $62$ per $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.30

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.31

Per scrivere $\frac{34}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.32

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.32.1

Moltiplica $\frac{34}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.32.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

Passaggio 6.3.33

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

Passaggio 6.3.34

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.34.1

Moltiplica $34$ per $5$ .

$\frac{170 - 124}{15}$

Passaggio 6.3.34.2

Sottrai $124$ da $170$ .

$\frac{46}{15}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{46}{15}$

Forma decimale:

$3.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$3 \frac{1}{15}$

Passaggio 8