Calcolo Esempi

$y = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $- 1 \sin^{3} (x)$ come $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.7

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.8.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.9

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.11

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.13

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.14

Semplifica.

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Passaggio 3.14.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.14.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.14.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.14.4

Riscrivi $- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ come $- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 3.14.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$