Calcolo Esempi

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ come $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

Passaggio 2

Espandi $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 3.1.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 3.1.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.7.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

Passaggio 3.1.7.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

Passaggio 3.2

Somma $4 x y^{3}$ e $4 y^{3} x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sposta $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Passaggio 3.2.2

Somma $4 x y^{3}$ e $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

Passaggio 5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 6

Poiché $y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y^{4}$ rispetto a $x$ è $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 8

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 9

Poiché $8 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 11

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Passaggio 12

Poiché $16 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

Passaggio 13

Somma $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Passaggio 14.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 14.2.1

$2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Passaggio 14.2.2

$y^{4}$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Passaggio 14.2.3

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ e $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Passaggio 14.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Passaggio 14.2.5

$8$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

Passaggio 14.2.6

$\frac{8}{5}$ e $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$