Calcolo Esempi

$\int \sqrt{3 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Allora $d u = \sqrt{3} d x$ , quindi $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ come $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Riordina $3$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $\sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x \sqrt{3}$ rispetto a $x$ è $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

Passaggio 2

$u$ e $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{\sqrt{3}}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{\sqrt{3}}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{6} + C$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{3}}{6} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$