Calcolo Esempi

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Passaggio 2

Espandi $(u - 4) u^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Passaggio 2.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Passaggio 2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Passaggio 2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$