Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{2}{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{x}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $x^{\frac{2}{x}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ spostando $\frac{2}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

Passaggio 3.2

$\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 \ln (x)}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Passaggio 3.7.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.7.4.2

$2$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 3.7.4.3

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ e $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.3.1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.6

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.7

Moltiplica $- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ .

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Passaggio 3.8.3.1.7.1

Riordina $\ln (x)$ e $- 2$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.1.7.2

Semplifica $- 2 \cdot \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.2

Riordina i fattori in $2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Passaggio 3.8.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$